Nincs királyi út!

A textilkirály és a matematikus

Az alább közölt levélváltás kezdeményezője a maga szakterületén elismert és népszerű, Goldberger Leó, aki a fővárosi úri társaság életének is meghatározó alakja volt. Ismerte és tisztelte az ekkor már világhírű matematikus Fejér Lipótot, és nagy tisztelettel fordult hozzá egy matematikai kuriózum rejtélyének feloldásáért. A tisztelet kölcsönösnek bizonyult. A kiváló matematikus – aki a rejtélyes feladványt nem ismerte – nem átallott azonnal tollat ragadni, és válaszában alaposan kifejtette a megoldást.

Fejér Lipót kézzel írott válaszlevele Goldberger Leónak

Budapest, 1943. január 22.

Mélyen Tisztelt Kedves Barátom!

Köszönöm szíves soraidat és az érdekes tétel közlését. Én nem is hallottam ezt soha. Meggyőződtem róla, hogy 142857 valóban az egyetlen hatjegyű szám, amely a szóban forgó tulajdonsággal bír.

Feladat. Keressünk egy tízes-rendszerbeli hatjegyű egész számot x = abcdef, amely a következő három tulajdonsággal bír:
1.) az a, b, c, d, e, f jegyek egyike sem egyenlő zérussal,
2.) az a, b, c, d, e, f jegyek egymástól különbözők
3.) az x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x mind hatjegyű számok, amelyek mind ugyanazon a, b, c, d, e, f jegyekkel írhatók fel, és pedig így:
                           x = a b c d e f                                     I.
                                 b c d e f a                                     II.
                                 c d e f a b                                     III.
                                 d e f a b c                                     IV.
                                 e f a b c d                                     V.
                                 f a b c d e                                     VI.
(A kívánalom [követelés] nem úgy értendő, hogy itt a második sor adja a 2x-et, a harmadik a 3x-et stb., hanem csak úgy, hogy a fenti hat szám az x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x-et adja valamely egymásutánban.)

Megjegyzés (pusztán egy matematikai műszó felemlítése). A második, harmadik, ..., hatodik sorban fölírt betűk az első sorban lévő a, b, c, d, e, f hat betű ú. n.

adják, és pedig mely permutációit? - az ú. n. (Honnan ez az elnevezés: cyclikus? Ha egy kört rajzolsz, és megjelölsz ezen, a nyíl által jellemzett természetes sorrendben hat pontot, a, b, c, d, e, f-et

akkor : ha a-nál kezded és körüljárod a kört, kapod: a b c d e f, ha b-nél kezded és körüljárod a kört, kapod: b c d e f a stb. - rendre a fenti hat „cyclikus permutációt".)

Már most kérdésünk legpregnánsabban úgy fogalmazhatjuk meg, hogy keresendő egy, az 1.), 2.) föltételeknek megfelelő x = a b c d e f hatjegyű szám úgy, hogy 3.) az x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x számok számjegyei megadják az a b c d e f cyclikus permutációinak teljes 6-tagú rendszerét (valamely sorrendben). (A 7-tel való szorzásról egyelőre hallgatunk.)

Azt állítottam, csak ismétlem, hogy x = 142 857 az egyetlen hatjegyű szám, amely az 1.), 2.), 3.) föltételeknek megfelel.

Bizonyítás. Világos, hogy az a = 1. Ha ugyanis a = 2, 3, ..., 9 volna, akkor 6x egymilliónál nagyobb volna, tehát nem volna hatjegyű szám.

Tehát
x = 1 b c d e f.
Az első jegy tehát meg van határozva.

Most a hatodik jegyet, az f-et fogom meghatározni. Azt állítom, hogy f nem lehet páros jegy (vagyis 2 vagy 4 vagy 6 vagy 8). Mert akkor 2x, 3x, 4x, 5x, 6x is vagy 0-sal vagy 2-vel vagy 4-gyel vagy 6-tal vagy 8-cal végződnék, tehát egyszer sem 1-gyel. Mivel pedig 1, mint láttuk, az x egyik jegye (az első), kell, hogy (a cyclikusság folytán) a többszörösök egyike az 1 jeggyel végződjék. Eszerint csak
f = 1 vagy 3 vagy 5 vagy 7 vagy 9
lehetséges.

Ámde f = 1 nem lehet, mert akkor az 1 jegy kétszer fordulna elő a keresett x-ben, amit kizártunk. Maradnak az
f = 3, 5, 7, 9
lehetőségek.

Most képezzük a 2x, 3x, 4x, 5x, 6x-et. Elhagyhatjuk a 2x, 4x, 6x páros többszörösöket, mert azok csak páros jeggyel, tehát 1-gyel nem végződhetnek. Marad a két többszörös:
3x, 5x

Minthogy
x = · · · · · f,
(ahol, mint mondottuk, f = 3 vagy 5 vagy 7 vagy 9), tehát 3x vagy 9-cel vagy 5-tel vagy 1-gyel vagy 7-tel végződik (tehát csak az f = 7 esetben 1-gyel). Viszont 5x mind a négy esetben 5-tel végződik.
Látjuk tehát, hogy az x = 1 b c d e f számra nézve a 2x, 3x 4x, 5x, 6x számok valamelyike akkor és csak akkor végződhetik 1-gyel, ha f = 7 (Ekkor 3x = · · · · · 1).

Tehát most már mondhatjuk, hogy szükségképpen
x = 1 b c d e 7,
vagyis a keresett szám első és hatodik jegyét meghatároztuk.

Most, drámai gyorsasággal, meg tudom határozni a még ismeretlen négy jegy lehetséges értékét (ha nem is mindjárt a helyöket is). Ugyanis az x imént nyert alakjából nyilván következik:
  x = · · · · · 7
2x = · · · · · 4
3x = · · · · · 1
4x = · · · · · 8
5x = · · · · · 5
6x = · · · · · 2
Minthogy követeljük, hogy mind a hat jegy egyszer és csak egyszer utolsó jegye legyen a hat darab hatjegyű x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x számok valamelyikének, tehát a mi keresett számunk szükségképpen az imént talált
1, 2, 4, 5, 7, 8
jegyekből áll. Csak az a kérdés, hogy melyik helyen áll ez a talált hat jegy? Az 1-ről már tudjuk, hogy (balról) az első helyen áll, és a 7-ről már tudjuk, hogy (balról) a hatodik helyen áll. De mi van a 2, 4, 5, 8 jegyek helyével?

Azt állítom először is, hogy az 5 jegy az ötödik helyen áll. Vagyis, hogy
x = 1 · · · 57
Ha ugyanis nem az 5 állna az ötödik helyen, akkor a három most posszibilis jegy közül a 2 vagy a 4 vagy a 8 állana ezen az ötödik helyen.

Ez azonban nem felel meg, amit a következőképpen bizonyítok be.

α) Ha ugyanis
  x = · · · · 27
volna, akkor
2x = · · · · 54
3x = · · · · 87
4x = · · · · 08
Íme 4x-ben föllépett a szerepléstől eltiltott 0 jegy. Tehát x = · · · · 27 nem felel meg.
Ha meg x = · · · · 47
volna, akkor

β)
2x = · · · · 94

Minthogy a 9 jegy szintén nem szerepelhet egyik többszörösben sem, tehát x = · · · · 47 sem válik be.
Végre, ha
γ)
x = · · · · 87
volna, akkor
2x = · · · · 74
3x = · · · · 67
Minthogy a 6 jegy szintén nem szerepelhet, tehát az x = · · · · 87 sem válik be.

Tehát tényleg az 5-ik helyen csak az 5 jegy állhat, vagyis addig jutottunk el, hogy
x = 1 b c d 5 7

Most egy pár sor, és a végén vagyunk.
Ezután a 8 jegy helyét keresem a még rendelkezésre álló három hely közül.
x = 18 · · 57
nem válik be, mert most 6x több, mint egymillió, és így több, mint 6 jegyből állana.

Megpróbáljuk tehát, hogy
x = 1 · 8 · 57
megfelel-e? csak két lehetőség van:
vagy:                              x = 1 2 8 4 5 7
vagy:                              x = 1 4 8 2 5 7

Egyik sem válik be. Ugyanis az első esetben
2x = · · · 914
a második esetben pedig
2x = · · 6514.
De 9, illetőleg 6 nem szerepelhet mint jegy. Tehát 8 nem lehet a harmadik helyen sem.

Marad, mint utolsó lehetőség:
x = 1 · · 857.
Ezután már csak két szám közül kell választanunk; az egyik
x = 1 2 4 8 5 7,
a másik
x = 1 4 2 8 5 7.
Az első nem válik be; ugyanis
2x = · · 9714
-ben a meg nem engedett 9-es jegy lép föl.
Végre marad
x = 1 4 2 8 5 7
mint egyetlen hatjegyű szám, amely a mi 1), 2), 3) követelésünknek eleget tehet.

Mondom, ezzel az van bebizonyítva, hogy az összes 6-jegyű, egymástól különböző jegyű, zérus jeggyel nem bíró számok között az x = 1 4 2 8 5 7 az egyetlen, amelyre nézve a 2x, 3x, 4x, 5x, 6x többszörösök jegyhatosai az eredeti 1, 4, 2, 8, 5, 7 számhatos többi 5 cyclikus permutációját adhatják. Hogy tényleg szolgáltatják, azt a szorzás mutatja:
x = 1 4 2 8 5 7                                                              I.
2x = 2 8 5 7 1 4                                                            III.
3x = 4 2 8 5 7 1                                                            II.
4x = 5 7 1 4 2 8                                                            V.
5x = 7 1 4 2 8 5                                                            VI.
6x = 8 5 7 1 4 2                                                            IV.
(A jobb oldalon álló római számok jelzik, hogy az 1. oldal értelmében hányadik cyclikus permutáció áll elő, ha x-et rendre 1, 2, 3, 4, 5, 6-tal megszorozzuk.)

Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzem, próbáltam 3-jegyű számot találni, amely a mi x számunkkal analóg tulajdonságot mutat. hamarosan kiderült, hogy ilyen 3-jegyű szám nincs.


Adjuk össze a fenti hat számot; kapjuk, minthogy minden oszlop is az 1 4 2 8 5 7 jegyekből áll,
21x = (1+4+2+8+5+7) * (105+104+103+102+10+1) = 27*111 111,
vagyis, osztva mindkét oldalt 3-mal
7x = 9*111 111 = 999 999.

Látható ebből, hogy a 7-tel való szorzásra vonatkozó állítás már csak következménye az x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x-re vonatkozólag követelt „cyclikus" tulajdonságnak.

Én remélem, hogy amit írtam, meg lehet érteni. Ha valamely pont nehézséget okoz, akkor fordulj kedves tanítványomhoz, Popper Edit kisasszonyhoz, akit egy kis, esetleg szükséges magyarázat adására ezennel ünnepélyesen megkérek. A Méltóságos asszonynak tisztelettel kézcsókomat küldöm, Téged pedig, mint egyéniséged és nagy műved - annyi sok között - egyik igaz tisztelője, a semmeringi együttlétre is gondolva, szeretettel köszönt
Fejér Lipót

Ezen a napon történt február 26.

1945

Az Ideiglenes Nemzeti Kormány közzétette az 528/1945. sz. rendele-tét, amelynek értelmében feloszlatta a fasiszta pártokat és egyesülete-...Tovább

1952

Elkészül Nagy-Britannia első atombombája.Tovább

1957

Az MSZMP IKB határozott a KISZ felállításáról. Földes László vezetésével bizottságot jelöltek ki, amelynek feladata a hasonló szovjet...Tovább

1993

– Terrorista bombamerénylet a New York-i Világkereskedelmi Központban (WTC): ezer sebesült és öt halálos áldozat.Tovább

Magunkról

A Magyar Országos Levéltár 2001-ben alapította – a levéltáros szakmában annak idején teljesen újszerű kezdeményezésként – a 20. század történelmével foglalkozó elektronikus forrásközlő folyóiratát, az ArchívNetet. Az évente hat alkalommal megjelenő lap egyre növekvő olvasólétszámmal rendelkezik, és nemcsak a szakemberek, hanem a történelem iránt érdeklődők széles táborának tudásvágyát is igyekszik kielégíteni.

Az ArchívNet 2016-ban tartalmilag és formailag is megújult. A politika-, diplomácia-, művelődés- és hadtörténet mellett az eddigieknél is erőteljesebben vannak jelen a gazdaság- és társadalomtörténeti témák, nagyobb hangsúlyt kapnak a napjainkban egyre népszerűbbé váló személyes dokumentumok (naplók, memoárok, levelezések). Tematikus számok jelennek meg, az új felület pedig korszerűbb, átláthatóbb, rendezettebb a korábbinál.

Akárcsak az elmúlt két évtizedben, az ArchívNet a jövőben is publikálási lehetőséget kíván nyújtani az 1867 utáni korszakkal foglalkozó magyar és külföldi levéltárosok, történészek, pedagógusok, diákok, doktoranduszok számára. Írásaikat a szerkesztőség címére várjuk!

A Szerkesztőség

Szerzőink figyelmébe ajánljuk jelzetelési és hivatkozási útmutatónkat, amely megegyezik a Levéltári Közleményekével.

Beköszöntő

Tisztelt Olvasók!

 

2023 utolsó, hatodik ArchívNet számát prezentálja Önöknek a szerkesztőség, amely ezúttal is négy forrásismertetést tartalmaz. A publikációk közül három az 1950-es évekhez kötődik, kettő ezeken belül pedig az 1956-os forradalom eseményeit érinti sajátos nézőpontokból. A negyedik ismertetés pedig egy harmincegy évvel ezelőtti ünnepélyes iratátadás hátterét, következményeit világítja meg.

Az időrendet tekintve első a négy publikáció közül Farkas Dániel (doktorandusz, Károli Gáspár Református Egyetem) foglalkozik a legkorábban történt eseménysorral. Egy kevésbé kutatott témába enged betekintést írása, amely a magyar-latin-amerikai, ezen belül is a magyar-bolíviai kapcsolatok területére kalauzolja az olvasót. Az ismertetésből kiderül, hogy az 1950-es években instabil belpolitikai helyzettel bíró Bolívia különleges volt a magyar diplomácia számára, mivel csupán a második dél-amerikai ország volt a második világháború után, amellyel Magyarország felvette a kapcsolatot. A szerző egy fotókiállítás megszervezésén keresztül mutatja be, hogy miként indult meg a két állam közötti kapcsolatrendszer mélyítése.

Maradva a diplomaták világánál: Tulok Péter (tudományos kutató, Nemzeti Emlékezet Bizottsága) az 1956-os forradalom eseményeire reflektáló svéd diplomaták jelentéseinek halmazából ad ízelítőt válogatásával. Az 1956 októberében-novemberében Magyarországon zajló események kapcsán nem feltétlenül Svédország az első, amely eszünkbe jut mint külső tényező, szereplő, azonban az akkori történések vizsgálatánál nem utolsó szempont megismerni egy semleges állam véleményét, látásmódját. A forrásismertetés egyben rámutat arra, hogy a svéd külügyi irányításnak volt tudomása arról, hogy Csehszlovákiában miként reagáltak a magyarországi eseményekre – a prágai svéd követ egyik táviratában erről adott röviden tájékoztatást.

Krahulcsán Zsolt (tudományos kutató, Állambiztonsági Szolgálatok Történeti Levéltára) az 1956-os események utóhatásaival foglalkozik ismertetésében. A hatalmát stabilizálni kívánó Kádár-kormány számára különösen fontos volt a közhangulat javítása, egyben a szovjetellenesség letörése. Az ArchívNet előző számának egyik publikációjában főszerepet kapó újságíró Fehér Lajos ezúttal is felbukkan. Krahulcsán Zsolt írásában úgy jelenik meg, mint ötletadó: másodmagával tett javaslatot arra nézve, hogy a fővárosban miként lehetne szovjet segítséggel végrehajtani a harcokban megsérült épületek renovációját.

A magyar-orosz kapcsolattörténet egy kevésbé terhelt mozzanatát idézi fel Seres Attila (tudományos főmunkatárs, VERITAS Történetkutató Intézet és Levéltár), amely esemény egyben a hazai történelemtudomány számára bírt kiemelkedő jelentőséggel. A két részre bontott írásának első felében azt vizsgálta meg, hogy miként alakult Borisz Jelcin budapesti látogatását követően Bethlen István néhai magyar miniszterelnök átadott oroszországi iratainak a sorsa 1992–1994 között. Kitér egyben arra is, hogy a Moszkvában fogvatartott egykori miniszterelnök sorsának alakulása mennyire volt ismert a magyarországi vezetés körében 1945 után.

Az idei hatodik számban publikáló szerzőinknek köszönjük a kéziratokat, egyben felhívjuk leendő szerzőink figyelmét, hogy az ArchívNet jövő évi számaiba továbbra is várjuk a huszadik századi forrásokat ismertető írásokat gazdaság-, intézmény-, hely-, politika- és társadalomtörténeti témákban.

 

Budapest, 2023. december 21.

Miklós Dániel

főszerkesztő